Sifat-Sifat Operasi Himpunan

Sifat-sifat irisan dan gabungan himpunan

Kalian telah mempelajari bahwa anggota irisan dua himpunan adalah anggota persekutuan himpunan tersebut.

Jika A = {1, 2, 3, 4}, B = {3, 4, 5} dan C = {4, 5, 6}

maka A  B = {3, 4} dan B  A = {3, 4}.

Tampak bahwa A B = B  A.

Sifat ini disebut sifat komutatif irisan.

Berdasarkan himpunan A, B, dan C di atas dapat diketahui bahwa

A  B = {3, 4} dan B  C = {4, 5}, sehingga

(A  B)  C = {3, 4}  {4, 5, 6}

(A  B)  C = {4}

A  (B  C) = {1, 2, 3, 4}{4, 5}

A  (B  C) = {4}

Tampak bahwa (A  B) C = A(B C).

Sifat ini disebut sifat asosiatif irisan.

Jika A = {1, 2, 3, 4} maka:

A  A = {1, 2, 3, 4}  {1, 2, 3, 4}

A A = {1, 2, 3, 4}

A  A = A

Jadi, A  A = A.

Sifat ini dikenal dengan sifat idempotent irisan.

Untuk setiap himpunan A dengan semesta pembicaraan S, berlaku

a) sifat identitas irisan

A  S = A (himpunan S disebut elemen identitas pada irisan)

b) sifat komplemen irisan

A  AC = 

Selain sifat-sifat di atas, terdapat hubungan antara irisan dan gabungan dua himpunan. Jika himpunan A = {1, 2, 3}, B = {3, 4, 5, 6}, dan C = {3, 6, 7}, diperoleh B  C = {3, 4, 5, 6, 7}, A  B = {3}, dan A  C = {3}.

Dengan demikian diperoleh:

A  (B  C) = {1, 2, 3} {3, 4, 5, 6, 7}

A  (B C)= {3}

(A  B)  (A  C) = {3}  {3}

(A  B)  (A  C) = {3}

Tampak bahwa A  (B  C) = (A  B)  (A  C).

Secara umum berlaku sebagai berikut.

Untuk setiap himpunan A, B, dan C berlaku

A  (B  C) = (A  B)  (A  C)

Sifat ini disebut sifat distributif irisan terhadap gabungan.

Sifat-sifat selisih himpunan

Di depan kalian telah mengetahui bahwa selisih himpunan A dan B adalah himpunan yang anggotanya semua anggota dari A tetapi bukan anggota dari B.

Misalkan:

A = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

B = {1, 2, 3, 6}

C = {1, 2, 4, 8}

maka A – A = {1, 2, 3, 4, 6, 12} – {1, 2, 3, 4, 6, 12}

A – A =

A –  = {1, 2, 3, 4, 6, 12} – 

A –  = {1, 2, 3, 4, 6, 12}

A –  = A.

Tampak bahwa A – A =  dan A –  = A.

Karena A –  = A, maka  adalah identitas pada selisih himpunan.

Sekarang, perhatikan bahwa B  C = {1, 2}, A – B = {4, 12}, dan A – C = {3, 6, 12}, sehingga diperoleh

A – (B  C} = {1, 2, 3, 4, 6, 12} – {1, 2}

A – (B  C} = {3, 4, 6, 12}

(A – B)  (A – C) = {4, 12}  {3, 6, 12}

(A – B)  (A – C) = {3, 4, 6, 12}

Tampak bahwa A – (B  C) = (A – B)  (A – C).

Secara umum berlaku sebagai berikut:

Untuk setiap himpunan A, B, dan C berlaku

A – (B  C) = (A – B)  (A – C)

Sifat ini disebut sifat distributif selisih terhadap irisan.

Dengan cara yang sama seperti di atas, bahwa pada selisih dua himpunan berlaku sifat distributif selisih terhadap gabungan. Untuk setiap himpunan A, B, dan C berlaku:

A – (B  C) = (A – B)  (A – C)