Perhatikan Gambar di atas. Lingkaran dengan pusat di titik O dengan titik E adalah titik potong antara tali busur AC dan BD. Dari gambar tersebut tampak bahwa ∠ AEB, ∠ BEC, ∠ CED, dan ∠ AED adalah sudut di dalam lingkaran yang dibentuk oleh perpotongan antara tali busur AC dan BD. Dari gambar tersebut diperoleh:
a. ∠ BDC adalah sudut keliling yang menghadap busur BC, sehingga ∠BDC= ½ x ∠BOC;
b. ∠ACD adalah sudut keliling yang menghadap busur AD, sehingga ACD= ½ x ∠AOD.
Perhatikan bahwa ∠ BEC adalah sudut luar Δ CDE, sehingga
∠BEC = 180° - ∠CED
∠BEC = 180° (180° - ∠ CDE - ∠ECD)
∠BEC = ∠CDE + ∠ECD
∠BEC = ∠BDC + ∠ ACD
∠BEC = ½ x ∠BOC + ½ x ∠AOD
∠BEC = ½ (∠BOC + ∠AOD)
Analog dengan cara di atas, maka diperoleh
∠AEB = ½ (∠AOB + ∠COD)
∠CED = ½ (∠COD + ∠AOB)
∠AED = ½ (∠AOD + ∠BOC)
Dari uraian di atas dapat disimpulkan sebagai berikut. Besar sudut antara dua tali busur yang berpotongan di dalam lingkaran sama dengan setengah dari jumlah sudut-sudut pusat yang menghadap busur yang diapit oleh kaki-kaki sudut itu.
Contoh Soal Tentang Sudut Antara Dua Tali Busur Jika Berpotongan Di Dalam Lingkaran
Pada gambar di atas, diketahui besar ∠ POQ = 60° dan besar ∠ ROS = 130°. Tentukan besar ∠ PTQ.
Penyelesaian:
∠PTQ = ½ (∠POQ + ∠ROS)
∠PTQ = ½ (60°+ 130°)
∠PTQ = 95°
