Panjang Jari-Jari Lingkaran Dalam Segitiga dan Lingkaran Luar Segitiga

Untuk mengetahui panjang jari-jari lingkaran dalam dan luar segitiga, kita harus mengetahui rumus luas segitiga sebarang. Jika panjang sisi-sisi segitiga adalah a, b, c, dan s = 1/2 keliling segitiga tersebut, maka rumus luas segitiga sebarang adalah:

Panjang Jari-jari Lingkaran Dalam

Perhatikan gambar! OP, OQ, dan OR adalah jari-jari lingkaran dalam segitiga. Jika OP = OQ = OR = r_d, BC = a, AC = b, dan AB = c, maka:

Luas ΔABC = Luas ΔOBC + Luas ΔOAC + Luas ΔOAB

Luas ΔABC = ( 1/2 × BC × OP) + (1/2 × AC × OQ ) + (1/2 × AB × OR)

Luas ΔABC = ( 1/2 × a × r_d) + (1/2 × b × r_d) + (1/2 × c × r_d)

Luas ΔABC = 1/2 × r_d × (a + b + c) = r_d × 1/2 × (a + b + c)

Luas ΔABC = r_d × 1/2 × keliling ΔABC

Jika 1/2 × keliling ΔABC = s, maka:

Luas segitiga = r_d × s

r_d =Luas segitiga/s

Sehingga, dapat kita simpulkan untuk sebarang segitiga dengan panjang sisi-sisinya a, b, dan c, serta s = 1/2 × keliling segitiga, maka jari-jari lingkaran dalam segitiga tersebut adalah:

Panjang Jari-jari Lingkaran Luar

Selanjutnya, perhatikan gambar di samping. Lingkaran yang terbentuk pada gambar adalah lingkaran luar ΔABC yang berpusat di titik O. OA dan OQ adalah jari-jari lingkaran luar. Misalkan OA = OQ = r_l, BC = a, AC = b, dan AB = c. Perhatikan ΔAQB dan ΔACP! Besar ∠ABQ (sudut keliling yang menghadap busur AQ dan menghadap diameter lingkaran) = 90° = ∠APC (karena AP adalah garis tinggi ΔACP, maka AP⊥BC). Besar ∠AQB = ∠ACP karena sudut keliling menghadap busur yang sama). (Materi bahasan sudut keliling akan dibahas pada subbab berikutnya). Karena terdapat dua buah sudut yang bersesuaian sama besar, maka ΔAQB dan ΔACP sebangun (bentuknya sama, tetapi ukurannya berbeda). Sehingga dapat ditulis secara matematis dalam bentuk berikut.

AQ/AC =AB/AP

AQ =AB × AC/AP (kalikan pembilang dan penyebut dengan BC)

2r_l = (BC × AB × AC)/(BC × AP)

2r_l = (BC × AB × AC)/ (2 × 1/2 × BC × AP)

2rl = (BC × AB × AC)/(2 × Luas ΔABC)

r_l = (a × b × c)/4 × Luas Δ ABC

Sehingga, dapat kita simpulkan untuk sebarang segitiga dengan panjang sisi-sisinya a, b, dan c, serta s = 1/2 × keliling segitiga, maka jari-jari lingkaran luar segitiga adalah:

Contoh soal Tentang Panjang Jari-Jari Lingkaran Dalam Segitiga dan Lingkaran Luar Segitiga

Panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 6 cm, 8 cm, dan 10 cm. Hitunglah:

a. Keliling lingkaran dalam segitiga

b. Luas lingkaran luar segitiga

Penyelesaian:

Diketahui a = 6 cm, b = 8 cm, c = 10 cm

s = 1/2 × keliling segitiga

s = 1/2 × (a + b + c)

s = 1/2 × (6 + 8 + 10)

s = 1/2 × 24 = 12

Luas segitiga = √(s(s – a)(s – b)(s – c))

Luas segitiga = √(12(12 – 6)(12 – 8)(12 – 10))

Luas segitiga = √(12(6)(4)(2))

Luas segitiga = √576 =

Luas segitiga = 24 cm²

a. dengan menggunakan rumus di atas maka jari-jari lingkaran dalam segitiga di dapat

 r_d = Luas segitiga/s

r_d = 24/12

r_d = 2 cm

Keliling lingkaran dalam segitiga

K = 2πrd = 2 × 3,14 × 2 = 12,56 cm

b. dengan menggunakan rumus di atas maka jari-jari lingkaran luar segitiga di dapat

r_l = (a × b × c)/ (4 × Luas segitiga)

r_l = (6 × 8 × 10)/ (4 × 24)

r_l = 480/96

r_l = 5 cm

Luas lingkaran luar segitiga

L = πr²

L = 3,14 × 5²

L = 78,5 cm2

Soal Latihan Tentang Panjang Jari-Jari Lingkaran Dalam Segitiga dan Lingkaran Luar Segitiga

1. Diketahui panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 12 cm, 15, dan 19 cm. Hitunglah jari-jari lingkaran luar segitiga tersebut!
2. Diketahui panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 23 cm, 27, dan 32 cm. Hitunglah jari-jari lingkaran dalam segitiga tersebut!
3. Diketahui panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 8 cm, 12, dan 22 cm. Hitunglah:
   a. Jari-jari lingkaran dalam segitiga
   b. Keliling lingkaran dalam segitiga
   c. Luas lingkaran dalam segitiga
4. Diketahui panjang sisi-sisi sebuah segitiga adalah 7 cm, 11, dan 18 cm. Hitunglah:
   a. Jari-jari lingkaran dalam segitiga
   b. Keliling lingkaran dalam segitiga
   c. Luas lingkaran dalam segitiga
   
   
5. Pada gambar di bawah, OD adalah jari-jari lingkaran dalam segitiga ABC. Jika AB = 13 cm, BC = 9 cm, dan AC = 6 cm, hitunglah:
   a. Luas segitiga ABC
   b. Panjang OD
   c. Luas lingkaran
   d. Luas daerah yang diarsir