Kamis, 25 April 2013

Hubungan Sudut Pusat dan Sudut Keliling Lingkaran


Pada pembahasan yang lalu kalian telah mempelajari bahwa sudut pusat dibentuk oleh dua jari-jari lingkaran yang berpotongan di titik pusatnya. Adapun sudut keliling adalah sudut yang dibentuk oleh dua tali busur yang berpotongan di satu titik pada keliling lingkaran.
Pada Gambar di atas, OA dan OB berpotongan di O membentuk sudut pusat, yaitu  AOB. Adapun tali busur AC dan CB berpotongan di titik C membentuk sudut keliling  ACB. Sudut pusat  AOB dan sudut keliling  ACB menghadap busur yang sama, yaitu  AB .
Sekarang, kita akan mempelajari hubungan antara sudut pusat dan sudut keliling yang menghadap busur yang sama. Perhatikan Gambar di bawah.
Lingkaran di atas berpusat di titik O dan mempunyai jari-jari OA = OB = OC = OD = r. Misalkan  AOC = αdan  COB = β, maka  AOB = α + β.

Perhatikan ΔBOD!
 BOD pelurus bagi  BOC, sehingga  BOD = 180° –β .
Δ BOD segitiga sama kaki, karena OB = OD = r, sehingga
 ODB =  OBD = ½ (180° -  BOD)
Karena BOD = 180° – β , maka diperoleh
ODB = OBD = ½ (180° - (180° – β))
ODB = ½ β

Sekarang perhatikan Δ AOD!
 AOD pelurus bagi  AOC, sehingga  AOD = 180° –αΔ AOD adalah segitiga sama kaki, karena OA = OD = r, sehingga
ODA = OAD = ½ (180° - AOD)
ODA = OAD = ½ (180° - (180° – α))
ODA = OAD = ½ α

Dengan demikian mengunakan persamaan ODB = ½β dan ODA = ½α, maka besar ADB dapat di cari:
ADB = ODA + ODB
ADB = ½β + ½α
ADB = ½ (β + α)
ADB = ½  AOB atau
besar  AOB = 2 x besar  ADB.
Karena  AOB adalah sudut pusat dan  ADB adalah sudut keliling, di mana keduanya menghadap  AB , maka dapat disimpulkan sebagai berikut.
Jika sudut pusat dan sudut keliling menghadap busur yang sama maka besar sudut pusat = 2 x besar sudut keliling.

Contoh Soal Tentang Hubungan Sudut Pusat dan Sudut Keliling

1. Berdasarkan gambar di bawah, jika BOC = 60°,hitunglah besar BAC!

Penyelesaian:
BAC dan BOC menghadap busur yang sama, yaitu busur BC, maka:
BAC = 1/2 × BOC
BAC = 1/2 × 60° = 30°
Jadi, besar BAC = 30°.
2. Berdasarkan gambar di bawah ini, jika AOC = 72°, hitunglah besar ABC!

Penyelesaian:
Perhatikan gambar tersebut. ABC adalah sudut keliling yang menghadap busur AC yang besar, maka kita harus menghitung sudut refleks AOC.
Sudut refleks AOC = 360° – AOC
Sudut refleks AOC = 360° – 72° = 288°
ABC dan sudut refleks AOC menghadap busur AC yang besar, maka:
ABC = 1/2 × sudut refleks AOC
ABC = 1/2 × 288°
ABC = 144°
Jadi, besar ABC = 144°

Latihan Soal Tentang Hubungan Sudut Pusat dan Sudut Keliling
Pada gambar di bawah, BAD = 35°. Hitunglah:
a. BOD
b. Sudut refleks BOD
c. BCD