Hubungan Sudut Pusat dan Sudut Keliling Lingkaran

Pada pembahasan yang lalu kalian telah mempelajari bahwa sudut pusat dibentuk oleh dua jari-jari lingkaran yang berpotongan di titik pusatnya. Adapun sudut keliling adalah sudut yang dibentuk oleh dua tali busur yang berpotongan di satu titik pada keliling lingkaran.

Pada Gambar di atas, OA dan OB berpotongan di O membentuk sudut pusat, yaitu ∠ AOB. Adapun tali busur AC dan CB berpotongan di titik C membentuk sudut keliling ∠ ACB. Sudut pusat ∠ AOB dan sudut keliling ∠ ACB menghadap busur yang sama, yaitu ∠ AB .

Sekarang, kita akan mempelajari hubungan antara sudut pusat dan sudut keliling yang menghadap busur yang sama. Perhatikan Gambar di bawah.

Lingkaran di atas berpusat di titik O dan mempunyai jari-jari OA = OB = OC = OD = r. Misalkan ∠ AOC = αdan ∠ COB = β, maka ∠ AOB = α + β.

Perhatikan ΔBOD!

∠ BOD pelurus bagi ∠ BOC, sehingga ∠ BOD = 180° –β .

Δ BOD segitiga sama kaki, karena OB = OD = r, sehingga

∠ ODB = ∠ OBD = ½ (180° - ∠ BOD)

Karena ∠BOD = 180° – β , maka diperoleh

∠ODB = ∠OBD = ½ (180° - (180° – β))

∠ODB = ½ β

Sekarang perhatikan Δ AOD!

∠ AOD pelurus bagi ∠ AOC, sehingga ∠ AOD = 180° –α. Δ AOD adalah segitiga sama kaki, karena OA = OD = r, sehingga

∠ODA = ∠OAD = ½ (180° - ∠AOD)

∠ODA = ∠OAD = ½ (180° - (180° – α))

∠ODA = ∠OAD = ½ α

Dengan demikian mengunakan persamaan ∠ODB = ½β dan ∠ODA = ½α, maka besar ∠ADB dapat di cari:

∠ADB = ∠ODA + ∠ODB

∠ADB = ½β + ½α

∠ADB = ½ (β + α)

∠ADB = ½ ∠ AOB atau

besar ∠ AOB = 2 x besar ∠ ADB.

Karena ∠ AOB adalah sudut pusat dan ∠ ADB adalah sudut keliling, di mana keduanya menghadap ∠ AB , maka dapat disimpulkan sebagai berikut.

Jika sudut pusat dan sudut keliling menghadap busur yang sama maka besar sudut pusat = 2 x besar sudut keliling.

Contoh Soal Tentang Hubungan Sudut Pusat dan Sudut Keliling

1. Berdasarkan gambar di bawah, jika ∠BOC = 60°,hitunglah besar ∠BAC!

Penyelesaian:

∠BAC dan ∠BOC menghadap busur yang sama, yaitu busur BC, maka:

∠BAC = 1/2 × BOC

∠BAC = 1/2 × 60° = 30°

Jadi, besar ∠BAC = 30°.

2. Berdasarkan gambar di bawah ini, jika ∠AOC = 72°, hitunglah besar ∠ABC!

Penyelesaian:

Perhatikan gambar tersebut. ∠ABC adalah sudut keliling yang menghadap busur AC yang besar, maka kita harus menghitung sudut refleks AOC.

Sudut refleks AOC = 360° – ∠AOC

Sudut refleks AOC = 360° – 72° = 288°

∠ABC dan sudut refleks AOC menghadap busur AC yang besar, maka:

∠ABC = 1/2 × sudut refleks AOC

∠ABC = 1/2 × 288°

∠ABC = 144°

Jadi, besar ∠ABC = 144°

Latihan Soal Tentang Hubungan Sudut Pusat dan Sudut Keliling

Pada gambar di bawah, ∠BAD = 35°. Hitunglah:

a. ∠BOD

b. Sudut refleks BOD

c. ∠BCD