Kamis, 25 April 2013

Contoh Soal Tentang Panjang Busur, Luas Juring, dan Luas Tembereng


Sebelum anda mempelajari contoh soal berikut ini, alangkah baiknya anda mempelajari konsep tentang hubungan antara sudut pusat, panjang busur, luas juring dantembereng suatu lingkaran. Akan tetapi jika sudah mempelajarinya silahkan lihat contoh soalnya berikut ini. Kemudian kembali kerjakan soal-soal latihannya.


Contoh Soal 1
Pada suatu lingkaran dengan pusat O diketahui titik A, B, C, dan D pada keliling lingkaran, sehingga AOB = 35° dan COD = 140°. Jika panjang busur AB = 14 cm, hitunglah panjang busur CD.

Penyelesaiannya:
Berdasarkan soal di atas maka ketsa gambarnya seperti berikut
Di depan telah dipelajari hubungan antara sudut pusat dan panjang busur berikut.
CD/AB = COD / AOB
CD /14 cm = 140°/35° 
CD = (140°/35°) x 14 cm
CD = 4  x 14 cm
CD = 56 cm
Jadi panjang busur CD adalah 56 cm

Contoh Soal 2
Pada gambar di bawah, luas juring OAB = 50 cm2.
Hitunglah
a. luas juring POQ;
b. jari-jari lingkaran;
c. luas lingkaran.

Penyelesaiannya:
a. untuk mencari luas juring POQ dapat digunakan persamaaan berikut ini
Luas AOB/Luas POQ = AOB /POQ
50 cm2/ Luas POQ = 75°/60°
50 cm2/ Luas POQ = 1,25
Luas POQ = 50 cm2/1,25
Luas POQ = 40 cm2

b. untuk mencari jari-jari lingkaran dapat digunakan persamaan:
luas lingkaran/luas POQ = ∠ 1 lingkaran/∠POQ
πr2 /luas juring POQ = 360°/POQ
πr2/40 cm2 = 360°/60°
πr2/40 cm2 = 6
πr2 = 40 cm2 x 6
πr2 = 240 cm2
r2 = 240 cm2/(22/7)
r = 8,74 cm

c. Untuk mencari luas lingkaran dapat digunakan persamaan:
luas lingkaran/Luas AOB = ∠ 1 lingkaran/∠AOB
luas lingkaran/50 cm2  = 360°/75°
luas lingkaran/50 cm2  = 4,8
luas lingkaran = 4,8 x 50 cm2  
luas lingkaran = 240 cm2  

atau dengan menggunakan rumus πr2, maka:
πr2 = (22/7) x (8,74 cm)
πr2 = (22/7) x (76,3878 cm)2
πr2 = 240 cm2

Contoh Soal 3
Panjang jari-jari sebuah lingkaran diketahui 20 cm. Hitunglah
a. panjang busur di hadapan sudut 30°;
b. luas juring di hadapan sudut 45°

Penyelesaian:
a. Misal panjang busur di hadapan sudut 30° adalah AB dan sudut 30° = AOB maka:
panjang AB/keliling lingkaran = AOB/∠ 1 lingkaran
panjang AB/2πr = AOB/360°
panjang AB/(2 x 3,14 x 20 cm) = 30°/360°
panjang AB/125,6 cm = 1/12
panjang AB = 125,6 cm/12
panjang AB = 10,5 cm

b. misal luas juring di hadapan sudut 45° = POQ dan sudut 45° = POQ maka:
luas POQ /luas lingkaran = POQ/∠ 1 lingkaran
luas POQ /πr245°/360°
luas POQ = (45°/360°) x πr2
luas POQ = 0,125 x 3,14 x (20 cm)2
luas POQ = 157 cm2

Contoh Soal 4
Pada gambar di bawah diketahui panjang OP = 28 cm dan busur PQ = 17,6 cm. Hitung luas juring  POQ.
Penyelesaian:
keliling lingkaran tersebut adalah
K = 2πr
K = 2 x (22/7) x 28 cm
K = 176 cm
Luas lingkaran tersebut adalah
L = πr2
L = (22/7) x (28 cm)2
L = 2464 cm2

Sekarang cari sudut POQ
 POQ /∠ 1 lingkaran = panjang PQ/keliling lingkaran
 POQ /360° = 17,6cm/176 cm
 POQ = (17,6 cm/176 cm) x 360°
 POQ = 36°

luas juring  POQ/Luas Lingkaran =  POQ/∠ 1 lingkaran
luas juring  POQ/2464 cm= 36°/360°
luas juring  POQ = 0,1 x 2464 cm2
luas juring  POQ = 246,4 cm2

Contoh Soal 5
Hitunglah keliling dan luas bangun yang diarsir pada gambar berikut.
Penyelesaian:
a. Pada gambar (a) diketahui AOB = 45°, panjang jari-jari lingkaran (r) = 11 cm. Untuk mencari keliling gambar (a) terlebih dahulu cari panjang AB, maka
panjang AB/keliling lingkaran = AOB/∠ 1 lingkaran
panjang AB/2πr = AOB/360°
panjang AB/(2 x 3,14 x 11 cm) = 45°/360°
panjang AB/69,08 cm = 0,125
panjang AB = 69,08 cm x 0,125
panjang AB = 8,635 cm ≈ 8,64 cm

keliling gambar (a) = panjang AB + 2 x panjang AO
keliling gambar (a) = 8,64 cm + 2 x 11 cm
keliling gambar (a) = 30,64 cm

Untuk mencari luas yang diarsir (ABCD) pada gambar (a) terlebih dahulu cari Luas juring AOB dan luas juring yang tidak diarsir (COD),maka
luas juring  AOB /Luas Lingkaran =  AOB /∠ 1 lingkaran
luas juring  AOB /πr2 = 45°/360°
luas juring  AOB = 0,125 x πr2
luas juring  AOB 0,125 x 3,14 x (11 cm)2
luas juring  AOB 47,49 cm2

sekarang cari luas juring yang tidak di arsir (COD)
luas juring  COD /Luas Lingkaran =  COD /∠ 1 lingkaran
luas juring  COD/πr2 = 45°/360°
luas juring  COD = 0,125 x πr2
luas juring  COD 0,125 x 3,14 x (6 cm)2
luas juring  COD 14,13 cm2

Luas ABCD = luas juring  AOB 47,49 cm- luas juring  COD 14,13 cm2
Luas ABCD = 47,49 cm14,13 cm2
Luas ABCD = 33,36 cm2

Contoh Soal 6
Hitunglah luas tembereng pada gambar berikut jika jari-jari lingkaran 14 cm.
penyelesaian:
a. untuk mencari luas tembereng gambar (a) terlebih dahulu cari luas juring AOB dan luas ΔAOB:
luas juring AOB = ¼ luas lingkaran
luas juring AOB = ¼ x πr2
luas juring AOB = ¼ x (22/7) x (14 cm )2
luas juring AOB = ¼ x (22/7) x 14 x 14 cm2
luas juring AOB = 154 cm2

luas ΔAOB = ½ x alas x tinggi
luas ΔAOB = ½ x 14 cm x 14 cm
luas ΔAOB = 98 cm2

Luas tembereng = luas juring AOB – luas segitiga AOB
Luas tembereng = 154 cm– 98 cm2

b. untuk mencari luas tembereng gambar (b) terlebih dahulu cari luas juring COD dan luas ΔCOD:
luas juring COD/luas lingkaran =  COD /∠ 1 lingkaran
luas juring COD/ πr2 = 60° /360°
luas juring COD = (60°/360°) x πr2
luas juring COD = (1/6) x (22/7) x (14 cm )2
luas juring COD = ¼ x (22/7) x 14 x 14 cm2
luas juring AOB = 102,67 cm2

Karena besar  COD = 60o, maka ΔCOD sama sisi dengan panjang sisi 14 cm,
s = ½ x keliling segitiga
s = ½ x (a + b + c)
s = ½ x (14 cm + 14 cm + 14 cm)
s = ½ x (14 cm + 14 cm + 14 cm)
s = 21 cm

luas ΔCOD = (s(s-a)(s-a)(s-a)
luas ΔCOD = (21 (21-14)(21-14)(21-14)
luas ΔCOD = (21 x 7 x 7 x 7)
luas ΔCOD = (21 x 343)
luas ΔCOD = (7203)
luas ΔCOD = 84,87 cm2

Luas tembereng = luas juring COD – luas segitiga COD
Luas tembereng = 102,67 cm2– 84,87 cm2
Luas tembereng = 17,80 cm2

Contoh Soal 7
Pada gambar di bawah, panjang busur PQ = 50 cm, panjang busur QR = 75 cm, dan besar  POQ = 45°. Hitunglah besar  QOR.
Penyelesaian:
 QOR / POQ =panjang busur QR / panjang busur PQ
 QOR/45°= 75 cm/50 cm
 QOR/45°= 1,5
 QOR = 1,5 x 45°
 QOR = 67,5°


Contoh Soal 8
Pada gambar di bawah, besar  POQ = 72° dan panjang jari-jari OP = 20 cm.
Hitunglah
a. panjang busur besar PQ;
b. luas juring besar POQ.

Penyelesaian:
panjang PQ/keliling lingkaran = POQ/∠ 1 lingkaran
panjang PQ /2πr = POQ /360°
panjang PQ /(2 x 3,14 x 20 cm) = 72°/360°
panjang PQ /125,6 cm = 0,2
panjang PQ = 125,6 cm x 0,2
panjang PQ = 25,12 cm

luas juring  POQ /Luas Lingkaran =  PQ /∠ 1 lingkaran
luas juring  POQ /πr2 = 72°/360°
luas juring  POQ = 0,2 x πr2
luas juring  POQ 0,2 x 3,14 x (20 cm)2
luas juring  POQ 251,2 cm2