Rabu, 27 Februari 2013

Menghitung Vektor Perpindahan

Perpindahan adalah perubahan posisi (kedudukan) suatu benda dalam waktu tertentu. Sebuah partikel berpindah dari titik P ke titik Q menurut lintasan kurva PQ, seperti pada Gambar 1.4. Apabila posisi titik P dinyatakan sebagai rP dan posisi titik Q dinyatakan sebagai rQ maka perpindahan yang terjadi dari titik P ke titik Q tersebut adalah vektor Δr, yaitu
Δr = rQrP ………. (1–2)
Persamaan (1–2) jika diubah dalam kalimat dapat dinyatakan bahwa perpindahan suatu benda sama dengan posisi akhir benda dikurangi posisi awal.

Gambar 1.4 Garis putus-putus menyatakan lintasan partikel. Perpindahan posisi partikel dari posisi awal di titik P ke posisi titik Q dinyatakan dengan Δr
Bagaimanakah cara menentukan besar perpindahan yang dilakukan oleh partikel tersebut? Setiap benda membutuhkan waktu untuk berpindah atau mengubah kedudukannya. Dalam kasus perpindahan tersebut, pada saat t = t1, partikel berada di titik P dengan vektor posisinya rP. Pada saat t = t2, partikel berada di titik Q dengan vektor posisinya rQ.
Kemudian, apabila rP= (xPi + yPj) dan rQ = (xQi + yQj), Persamaan (1–2) dapat dituliskan menjadi rPQ = (xQi + yQj) – (xPi + yPj) = (xQ – xP)i + (yQ – yP)j.
Apabila xQxP = Δx dan yQyP = Δy, serta perpindahan yang dilakukan partikel rPQ dinyatakan sebagai Δr, Persamaan (1–2) berubah menjadi
Δr = Δxi + Δyj ………. (1–3)
Oleh karena besar perpindahan partikel Δr sama dengan panjang vektor Δr maka dapat dituliskan

Arah perpindahan partikel dapat ditentukan dari besar sudut yang dibentuk oleh vektor perpindahan Δr terhadap sumbu-x. Perhatikanlah Gambar 1.5 berikut.

Gambar 1.5 Perpindahan vektor Δr menurut sumbu-x adalah sebesar Δ x dan menurut sumbu-y sebesar Δ y Arah perpindahan partikel dapat ditentukan dari besar sudut yang dibentuk oleh vektor perpindahan Δr terhadap sumbu-x. Apabila sudut yang dibentuk oleh vektor perpindahan Δr terhadap sumbu-x adalah θ , arah perpindahan vektor Δr dinyatakan sebagai

Contoh soal
Sebuah titik materi bergerak dari titik P (3, 2) ke titik Q (11, 8). Tuliskanlah vektor posisi titik itu ketika berada di titik P dan di titik Q. Hitunglah vektor perpindahan dari titik P ke titik Q serta besar dan arah vektor perpindahan tersebut.
Jawab
Diketahui: koordinat di titik P (3, 2) dan di titik Q (11, 8).
Vektor posisi di titik P (rP) dan vektor posisi di titik Q (rQ) adalah
rP = 3i + 2j
rQ = 11i + 8j
Vektor perpindahan dari titik P ke titik Q adalah Δr yang diperoleh sebagai berikut
Δr = rQrP = (11i + 8j) – (3i + 2j)
Δr = 8i + 6j
Besar vektor Δr adalah

Arah perpindahan vektor itu adalah

Jadi, vektor perpindahan adalah Δr = 8i + 6j, panjang perpindahannya 10 satuan, dan sudut arah perpindahannya 37° terhadap arah sumbu-x positif. Untuk lebih jelasnya, perhatikanlah gambar berikut.