Secara matematis, kecepatan didefinisikan sebagai perubahan posisi per satuan waktu. Di Kelas X, Anda telah mempelajari tentang kecepatan yang terbagi atas kecepatan rata-rata dan kecepatan sesaat. Sekarang, Anda akan membahas analisis mengenai kedua jenis kecepatan tersebut ditinjau dari perhitungan vektor.
a. Kecepatan Rata-Rata
Perhatikanlah Gambar 1.6. Posisi benda di titik P pada saat t dinyatakan sebagai r. Kemudian, benda tersebut berpindah selama selang waktu Δt sejauh Δr sehingga pada saat t + Δt, benda berada di titik Q dengan posisi r + Δr
Gambar 1.6 Sebuah benda berpindah secara linear dari titik P ke titik Q.
Berdasarkan Persamaan (1–3) dapat dituliskan perpindahan posisi benda adalah sebagai berikut.
Δr = (r + Δr) – r
Berdasarkan definisi matematis kecepatan, dapat dituliskan
dengan v disebut kecepatan rata-rata. Kecepatan rata-rata benda dalam arah sumbu-x dan sumbu-y dapat dicari dengan cara memasukkan nilai Δr dari Persamaan (1–3) sebagai berikut.
Perhatikanlah Gambar 1.7. Gambar tersebut menunjukkan grafik perpindahan benda dari titik P ke titik Q menurut sumbu-x.
Gambar 1.7 Apabila gerak benda hanya pada arah sumbu-x maka kecepatan rata-rata benda vx adalah kemiringan garis yang menghubungkan titik P dengan titik Q, yaitu Δx/Δt
Dari grafik tersebut dapat dilihat bahwa selama selang waktu Δt, benda berpindah sejauh Δx. Oleh karena itu, kecepatan rata-rata benda dalam arah sumbu-x, yaitu Δx/Δt dituliskan dengan lambang vx . Apabila benda tersebut juga berpindah menurut sumbu-y, kecepatan rata-rata benda dalam arah sumbu-y, yaitu Δy/Δt dituliskan dengan lambang vy . Dengan demikian, kecepatan rata-rata sebuah benda pada bidang xy dapat dituliskan sebagai berikut.
Besar kecepatan rata-rata benda dapat dihitung menggunakan persamaan berikut.
b. Kecepatan Sesaat
Kecepatan sesaat suatu benda dapat diketahui dengan cara menghitung kecepatan rata-rata benda tersebut untuk selang waktu yang sangat singkat atau Δt mendekati nol. Penulisannya secara matematis adalah sebagai berikut.
Perhatikanlah Gambar 1.8 berikut.
Gambar 1.8 Grafik x terhadap t untuk selang waktu Δt yang semakin kecil
Dari gambar tersebut, dapat Anda lihat bahwa kemiringan garis yang menyatakan kecepatan rata-rata suatu benda akan semakin curam apabila selang waktu perpindahannya semakin kecil. Oleh karena itu, kecepatan sesaat dapat didefinisikan sebagai kemiringan garis tangensial pada titik P, yaitu turunan posisi terhadap waktu. Pada Gambar 1.8, kecepatan sesaatnya secara matematis dituliskan sebagai berikut.
Dalam kajian vektor, kecepatan sesaat benda yang bergerak menurut sumbu-x dan sumbu-y dinyatakan sebagai berikut
Oleh karena maka Persamaan (1–12) dapat dituliskan menjadi
Besarnya kecepatan sesaat atau kelajuan rata-rata benda dapat dihitung dengan menggunakan persamaan berikut
Perhatikanlah Gambar 1.9. Dari grafik kecepatan terhadap waktu benda di titik P yang memiliki kecepatan v, arah kecepatan benda di titik tersebut terhadap sumbu-x dinyatakan dengan θ . Besar θ secara matematis, dapat diperoleh sebagai berikut
dengan: vx = v cosθ , dan
vy = v sinθ .
Contoh
Sebuah partikel sedang bergerak pada suatu bidang dengan sumbu koordinat x dan y. Posisi partikel berubah terhadap waktu mengikuti persamaan r = (6 + 3t)i + (8 + 4t)j dengan r dalam meter dan t dalam sekon. Tentukanlah:
a. perpindahan partikel dalam selang waktu t = 0 hingga t = 2 sekon;
b. besar kecepatan rata-rata partikel dalam selang waktu t = 0 hingga t = 2 sekon;
c. besar dan arah kecepatan partikel pada saat t = 2 sekon.
Jawab
Diketahui: vektor posisi partikel, yaitu r = (6 + 3t)i + (8 + 4t)j.
a. t1 = 0 sekon adalah r1 = [6 + (3)(0)]i + [8 + (4)(0)]j = (6i + 8j) meter.
t2 = 2 sekon adalah r2 = [6 + (3)(2)]i + [8 + (4)(2)]j = (12i + 16j) meter.
Perpindahan partikel dari t1 = 0 sekon hingga t2 = 2 sekon adalah
Δr = r2 – r1= (12i + 16j) – (6i + 8j) = (6i + 8j) meter
Besar vektor Δr adalah
b. Kecepatan rata-rata partikel adalah
Besar kecepatan rata-rata partikel adalah
c. Vektor kecepatan partikel sebagai fungsi waktu ditentukan sebagai berikut.
Dengan demikian, diperoleh vektor kecepatan sesaat partikel adalah
v = vxi + vyj = (3i + 4j) m/s.
Besar kecepatan sesaat partikel adalah
Arah vektor kecepatan sesaat terhadap sumbu-x adalah θ dengan
2. Perhatikan grafik kedudukan (x) terhadap waktu (t) berikut
Tentukanlah kecepatan rata-rata benda dalam selang waktu:
a. antara t = 0 sampai t = 3 s;
b. antara t = 3 sampai t = 8 s; dan
c. antara t = 8 sampai t = 12 s.
Jawab
Diketahui: grafik x–t dan kecepatan rata-rata
a. Kecepatan rata-rata benda antara t = 0 sampai t = 3 s adalah
b. Kecepatan rata-rata benda antara t = 3 sampai t = 8 s adalah
c. Kecepatan rata-rata benda antara t = 8 sampai t = 12 s adalah
