Persamaan Gelombang Berjalan-

Persamaan Gelombang Berjalan- Pada sebuah tali yang panjang diregangkan di dalam arah x di mana sebuah gelombang transversal sedang berjalan. Pada saat t = 0, bentuk tali dinyatakan:

y = f (x) ……………………………………………………… (1.11)

dengan y adalah pergeseran transversal tali pada kedudukan x. Bentuk gelombang tali yang mungkin pada t = 0 ditunjukkan pada Gambar. Pada waktu t gelombang tersebut berjalan sejauh vt ke kanan, dengan v menunjukkan besarnya kecepatan gelombang, yang dianggap konstan. Maka persamaan kurva pada waktu t adalah:

y = f (x – vt) ……………………………………………. (1.12)

Persamaan (1.12) adalah persamaan umum yang menyatakan sebuah gelombang yang berjalan ke kanan, di mana x akan semakin besar dengan bertambahnya waktu, dan secara grafis ditunjukkan pada Gambar 1.11(b). Apabila kita ingin menyatakan sebuah gelombang yang berjalan ke kiri, maka:

y = f (x + vt) ……………………………………………….. (1.13)

Untuk sebuah fase khas dari sebuah gelombang yang berjalan ke kanan berlaku:

x – vt = konstan

Maka dari diferensiasi terhadap waktu akan diperoleh:

dx/dt = v

Dengan v adalah kecepatan fase gelombang. Untuk gelombang yang berjalan ke kiri kita memperoleh kecepatan fase gelombang adalah -v. Persamaan gelombang tali pada waktu t = 0 dinyatakan:

y = A sin (2π/λ)x ……………………………………………… (1.15)

 

Gambar 1.6 Gelombang yang merambat pada seutas tali beruva kurva sinus

Bentuk gelombang tersebut adalah sebuah kurva sinus, ditunjukkan pada Gambar 1.12. Pergeseran maksimum, A, adalah amplitudo kurva sinus tersebut. Nilai pergeseran transversal y adalah sama di x seperti di x + λ , x + 2 λ , dan sebagainya. Panjang gelombang λ menyatakan jarak di antara dua titik yang berdekatan di dalam gelombang tersebut yang berfase sama. Jika gelombang tersebut bergerak ke kanan dengan kecepatan fase v, maka persamaan gelombang tersebut pada waktu t adalah:

y = Asin(2π/λ)(x – vt)

Waktu yag diperlukan gelombang untuk menempuh satu panjang gelombang ( λ ) disebut periode (T ), sehingga:

λ = v .T ……………………………………………………… (1.17)

Dengan mensubstitusikan persamaan (1.17) ke persamaan (1.15), maka akan diperoleh:

 

Pada konsep gelombang berlaku suatu bilangan gelombang (wave number), k dan frekuensi sudut ( ω ), yang dinyatakan:

k= 2π/λ; dan ω=2π/T

Sehingga, dari persamaan (1.18) akan diperoleh:

y = A sin (kx –ωt) ………………………………………. (1.20)

Persamaan tersebut berlaku untuk gelombang sinus yang berjalan ke kanan (arah x positif). Sementara itu, untuk arah x negatif berlaku:

y = A sin (kx +ωt) ………………………………………. (1.21)

Dari persamaan (1.17) dan persamaan (1.19), akan diperoleh nilai kecepatan fase (v) dari gelombang adalah:

v=λ/T = ω/k

Persamaan (1.20) dan (1.21) menunjukkan pergeseran y adalah nol pada kedudukan x = 0 dan t = 0. Pernyataan umum sebuah deret gelombang sinusoida yang berjalan ke kanan adalah:

y = Asin(kx −ωt −φ) ……………………………………. (1.23)

Dengan φ adalah konstanta fase. Jika φ = -90o, maka pergeseran y di x = 0 dan t = 0 adalah ym, yang dinyatakan:

y = Acos( kx −ωt ) ………………………………………. (1.24)

Hal ini disebabkan fungsi cosinus digeser 90o dari fungsi sinus. Jika sebuah titik pada tali berlaku x = π k , maka pergeseran di titik tersebut adalah:

y = A sin(ωt + φ) ………………………………………… (1.25)

Persamaan tersebut menunjukkan bahwa setiap elemen khas dari tali tersebut mengalami gerak harmonis sederhana di sekitar kedudukan kesetimbangannya pada waktu gelombang berjalan sepanjang tali tersebut.

Contoh soal Gelombang Berjalan

1. Persamaan gelombang berjalan pada seutas tali dinyatakan dengan y = 0,02 sin (20 π t – 0,2 π x). Jika x dan y dalam cm dan t dalam sekon, tentukan:

a. amplitudo, d. bilangan gelombang, dan

b. panjang gelombang, e. frekuensi gelombang!

c. kelajuan perambatan,

Penyelesaian:

Persamaan umum gelombang y, seperti yang diperlihatkan pada persamaan (1.20) adalah:

y = y_m sin(kx −ωt )

y = -y_m sin(ωt − kx )

diberikan:

y = 0,02sin(20π t –  0,2πx)

Jadi,

a. Amplitudo, A = 0,02 cm

b. Panjang gelombang ( λ ),

λ=2π/k = 2π/0,2π=10 cm

c. Kelajuan perambatan (v)

v=ω/k = 20π/0,2π= 100 cm/s

d. Bilangan gelombang (k),

k=2π/λ=2π/10=0,2π

e. Frekuensi ( f ),

ω = 2πf

20 π = 2 π f

f= 10 Hz

2. Fungsi gelombang pada suatu medium dinyatakan sebagai:

y = 0,1 sin (5t – 2x), dengan x dan y dalam meter dan t dalam sekon. Tentukanlah frekuensi dan panjang gelombang tersebut!

Penyelesaian:

Diketahui: gelombang berjalan, y = 0,1 sin (5t – 2x)

Ditanyakan: f = . . .?

λ = . . .?

Jawab:

Dengan menggunakan persamaan 1.5 dapat kita ketahui bahwa: A = 0,1 m dan

ω = 2 π f = 5, sehingga:

f=5/(2π) Hz

Dengan persamaan gelombang berjalan kita ketahui bahwa k = 2, sehingga:

k = 2π/λ

λ = 2π/k

λ = π m

3. Sebuah gelombang merambat pada tali yang memenuhi persamaan : Y = 0,4 sin 2π (60 t – 0,4 x) di mana Y dan x dalam meter dan t dalam sekon, tentukanlah:

a. amplitudo gelombang,

b. frekuensi gelombang,

c. panjang gelombang,

d. cepat rambat gelombang, dan

e. beda fase antara titik A dan B pada tali itu yang terpisah sejauh 1 m.

Penyelesaian :

Untuk menyelesaikan persoalan gelombang berjalan yang diketahui persamaan gelombangnya, kita mengubah bentuk persamaan gelombang tersebut ke dalam bentuk persamaan gelombang umum.

Diketahui : Y = 0,4 sin 2π (60 t – 0,4 x)

Ditanyakan : a. A = … ?

b. f = … ?

c. λ = … ?

d. v = … ?

e. Δφ = … ?

Jawab :

Y = 0,4 sin 2π (60 t – 0,4x) diubah menjadi bentuk

Y = 0,4 sin (120π t – 0,8πx)

YP = A sin (ωt – kx)

a. A = 0,4 m

b. ωt = 120 πt

ω = 2πf → 2πf = 120 π → f= 60 Hz

c. k = 0,8π → 2π/λ = 0,8π → λ = 2,5m

d. v = f x λ = 60 x 2,5 = 150 m/s

e. Δφ = Δx/λ = 1/2,5 = 2/5