Hukum Kekekalan Momentum Sudut

Hukum Kekekalan Momentum Sudut- Anda telah mempelajari bahwa sebuah benda yang bergerak pada suatu garis lurus, memiliki momentum yang disebut momentum linear. Sekarang, bagaimana dengan benda yang berotasi? Pada benda yang melakukan gerak rotasi juga terdapat momentum yang disebut momentum sudut. Momentum sudut didefinisikan sebagai perkalian antara momen inersia dan kecepatan sudut. Secara matematis, ditulis sebagai berikut.

L = Iω

dengan: I = momen inersia (kgm²),

ω = kecepatan sudut (rad/s), dan

L = momentum sudut (kgm²/s).

Momentum sudut merupakan besaran vektor karena memiliki besar dan arah. Arah momentum sudut dapat ditentukan dengan aturan tangan kanan, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1.

Gambar 1. Arah putaran keempat jari menunjukkan arah rotasi, sedangkan ibu jari menunjukkan arah momentum sudut.

Apabila jari-jari benda yang melakukan gerak rotasi jauh lebih kecil dibandingkan dengan jarak benda itu terhadap sumbu rotasi r, momentum sudut benda itu dinyatakan sebagai momentum sudut partikel yang secara matematis dituliskan sebagai

L = mvr

Benda pejal bermassa m yang bergerak dengan kecepatan v pada lingkaran berjari-jari r. Momentum sudutnya = mvr.

Bila vektor dan saling sejajar maka momentum sudut benda adalah nol. Bila antara vektor dan saling tegak lurus maka besar momentum sudut adalah rmv. Mari kita tinjau sebuah partikel bermassa m yang berotasi dengan jari-jari konstan r memiliki kecepatan sudut ω. Kecepatan linear partikel adalah seperti pada Gambar (2)

Gambar 2. (a) Jika r sejajar p maka L=0.(b) jika r tegak lurus p maka nilai L maksimal = rmv,(c) jika antara r dan membentuk sudut θ maka L=rm sin θ.

Momentum sudutnya adalah:

Arah momentum sudutnya ke arah sumbu z positif.

Besarnya momentum sudut adalah:

Tampak bahwa momentum sudut analog dengan momentum linear pada gerak rotasi, kecepatan linear sama dengan kecepatan rotasi, massa sama dengan momen inersia. Jika momen gaya luar sama dengan nol, berlaku Hukum Kekekalan Momentum Sudut, yaitu momentum sudut awal akan sama besar dengan momentum sudut akhir. Secara matematis, pernyataan tersebut ditulis sebagaiberikut.

L_awal = L_akhir

I₁ω₁ + I₂ω₂ = I₁ω₁‘ + I₂ω₂‘ ….(3)

Dari Persamaan (3), dapat dilihat bahwa apabila I bertambah besar, ω akan semakin kecil. Sebaliknya, apabila ω semakin besar maka I akan mengecil. Prinsip ini diaplikasikan oleh pemain es skating dalam melakukan putaran (spinning). Saat akan memulai putaran badan, pemain es skating merentangkan lengannya (momen inersia pemain akan semakin besar karena jarak lengan dengan badan bertambah). Kemudian, ia merapatkan kedua lengannya ke arah badan agar momen inersianya mengecil sehingga putaran badannya akan semakin cepat (kecepatan sudutnya membesar).

Prinsip hukum kekekalan momentum sudut juga dipakai pada peloncat indah. Saat peloncat meninggalkan papan memiliki laju sudut ωo, terhadap sumbu horizontal yang melalui pusat massanya, sehingga dia dapat memutar sebagian tubuhnya setengah lingkaran. Jika ia ingin membuat putaran 3 kali setengah putaran, maka ia harus mempercepat laju sudut sehingga menjadi 3 kali kelajuan sudut semula. Gaya yang bekerja pada peloncat berasal dari gravitasi, tetapi gaya gravitasi tidak menyumbang torsi terhadap pusat massanya, maka berlaku kekekalan momentum sudut. Agar laju sudutnya bertambah maka dia harus memperkecil momen inersia menjadi 1/3 momen inersia mula-mula dengan cara menekuk tangan dan kakinya ke arah pusat tubuhnya.

Contoh soal hukum kekelan momentum sudut

Diketahui sebuah piringan hitam bermassa m dan berjari-jari R. Piringan hitam ini diletakkan di atas sebuah meja putar dengan jari-jari R dan massa M yang sedang berputar dengan kecepatan sudut ω . Meja putar ini dapat berputar dengan bebas tanpa ada momen gaya luar yang bekerja padanya. Jika piringan hitam dan meja putar dapat dianggap sebagai silinder homogen, berapakah kecepatan sudut akhir sistem?

Diketahui:

m_meja = M, r_meja = R, ω meja = ω , m_piringan = m, dan r_piringan = R.

Gunakan Hukum Kekekalan Momentum Sudut, yaitu (momentum sudut awal = momentum sudut akhir)

L_meja = L_meja + L_piringan → Imω = Imω² + Ipω²

Mω = (M + m) ω ‘

Kecepatan sudut akhir sistem adalah

Contoh berikutnya

Seorang penari balet berputar dengan kecepatan sudut w, momen inersianya Im. Bila dia kemudian merentangkan kedua tangannya sehingga momen inersianya menjadi Ia, berapa kecepatan sudut penari sekarang?

Kita bisa menyelesaikan dengan menggunakan hukum kekekalan momentum sudut. Pada penari tidak ada gaya dari luar maka tidak ada torsi dari luar, sehingga momentum sudut kekal:

Penari merentangkan kedua tangannya maka momen inersianya menjadi bertambah. Ia>Im maka kecepatan sudut penari menjadi berkurang.

Begitu juga bila penari balet mula-mula tangannya terentang, kemudian dia merapatkan kedua tangannya. Momen inersia penari akan mengecil sehingga kecepatan sudutnya menjadi lebih besar. Kecepatan sudut bisa berubah meskipun tidak ada torsi dari luar. Tenaga kinetik rotasi penari juga tidak konstan.