Kamis, 25 April 2013

Pembahasan Soal Panjang Sabuk Lilitan Minimal Pada Lingkaran


Menindak lanjuti postingan sebelumnya yang berjudul “Menentukan Panjang Sabuk Lilitan Minimal Yang Menghubungkan DuaLingkaran atau lebih”, di mana pada postingan tersebut membahas tentang bagaimana cara menyelesaikan soal penerapan dalam kehidupan sehari-hari tentang konsep lingkaran. Dalam hal ini penerapannya adalah bagiamana jika dua buah lingkaran atau lebih di hubungkan, kemudian diikat dengan sebuah tali. Berapakah panjang tali minimal yang diperlukan untuk mengikat lingkaran tersebut?

Syarat untuk agar mampu menentukan panjang sabuk lilitan minimal yang menghubungkan dua lingkaran atau lebih adalah Anda harus menguasai konsep dasar tentang lingkaran yaitu keliling lingkaran dan hubungan antara sudut pusat dengan panjang busur suatu lingkaran. Kalau anda sudah menguasai konsep tersebut silahkan anda pelajari pembahasan soal-soal tentang Menentukan Panjang Sabuk Lilitan Minimal Yang Menghubungkan Dua Lingkaran atau lebih berikut ini.



Pembahasan Soal Latihan Tentang Menentukan Panjang Sabuk Lilitan Minimal Yang Menghubungkan Dua Lingkaran atau Lebih

Pembahasan Soal 1

Gambar di bawah adalah penampang tiga buah pipa air yang berbentuk tabung dengan diameter 14 cm. Berapakah panjang tali minimal untuk mengikat tiga buah pipa dengan susunan tersebut?



Penyelesaian:

Diketahui bahwa diameter lingkaran adalah 14 cm, maka jari-jarinya adalah 7 cm. Hubungkan titik pusat ketiga lingkaran dan titik pusat dengan tali yang melingkarinya, seperti pada gambar di atas, sehingga diperoleh:
panjang AB = EF = DC = 4 x jari-jari = 28 cm.
Ingat kembali materi pada bab sebelumnya mengenai lingkaran, bahwa keliling lingkaran adalah 2πr, dalam hal ini panjang busur lingkaran AD merupakan ½ lingkaran. Maka:
panjang busur AD = busur BC = ½ keliling lingkaran = πr = 22 cm
          Jadi, panjang tali minimal untuk mengikat tiga buah pipa dengan susunan tersebut adalah:
panjang tali  = 2 x panjang AB + 2 x panjang busur AD
panjang tali  = 2 x 28 cm + 2 x 22 cm
panjang tali  = 100 cm

Jadi panjang tali minimal untuk mengikat tiga buah pipa dengan susunan tersebut 100 cm

Pembahasan Soal 2
Dua buah kayu berpenampang lingkaran diikat dengan tali yang panjangnya 144 cm. Jika jari-jarinya sama panjang maka tentukan panjang jari-jari kedua kayu.

Penyelesaian:
Misalkan jari-jari lingkaran kayu tersebut adalah r. Hubungkan titik pusat kedua lingkaran dan titik pusat dengan tali yang melingkari kayu, seperti pada gambar di atas, sehingga diperoleh:
panjang AB = EF = DC = 2 x jari-jari = 2r
Ingat kembali materi pada bab sebelumnya mengenai lingkaran, bahwa keliling lingkaran adalah 2πr, dalam hal ini panjang busur lingkaran AD merupakan ½ lingkaran. Maka:
panjang busur AD = busur BC = ½ keliling lingkaran = πr
          Jadi, panjang tali minimal untuk mengikat dua buah kayu dengan susunan tersebut adalah:
panjang tali = 2 x panjang AB + 2 x panjang busur AD
 panjang tali = 2 (panjang AB + panjang busur AD)
144 cm = 2 (2r + πr) <= sama-sama dibagi 2, maka
72 cm = 2r + πr
72 cm = 2r + (22/7)r
72 cm = (14/7)r + (22/7)r
72 cm = (36/7)r
r = 72 cm x 7/36
r = 14 cm

Jadi, panjang jari-jari kedua kayu adalah 14 cm

Pembahasan Soal 3

Gambar di bawah adalah penampang enam buah drum yang berbentuk tabung dengan jari-jari 28 cm. Hitunglah panjang tali minimal yang diperlukan untuk mengikat enam buah drum tersebut.




Penyelesaian:
Diketahui bahwa jari-jari drum adalah 28 cm. Hubungkan titik pusat enam lingkaran drum dan titik pusat dengan tali yang melingkarinya, seperti pada gambar di atas, sehingga diperoleh:
panjang IH = DE = FG = 4 x jari-jari = 112 cm.
Segitiga ABC sama sisi, sehingga
 ABC =  BAC =  ACB = 60°;
IAC = DAB = 90° (siku-siku);
DAI = HCG = EBF = 360° – (60° + 90° + 90°) =120°
Ingat kembali materi pada bab sebelumnya mengenai hubungan sudut pusat dengan panjang busur lingkaran, maka:
panjang busur ID/ keliling lingkaran = (DAI/360°)
panjang busur ID/ 2πr = (DAI/360°)
panjang busur ID = (120°/360°) x 2πr
panjang busur ID = (1/3) x 2πr
panjang busur ID = (1/3) x 2 x (22/7) x 28 cm
panjang busur ID = (176/3) cm
          Jadi, panjang tali minimal untuk mengikat enam buah drum dengan susunan tersebut adalah:
panjang tali  = 3 x panjang IH + 3 x panjang busur ID
panjang tali  = 3 x 112 cm + 3 x (176/3) cm
panjang tali  = 336 cm + 176 cm
panjang tali  = 512 cm

Jadi, panjang tali minimal yang diperlukan untuk mengikat enam buah drum tersebut adalah 512 cm

Pembahasan Soal 4
Gambar di bawah adalah penampang enam buah kaleng yang berbentuk tabung dengan jari-jari 10 cm. Hitunglah panjang tali minimal yang diperlukan untuk mengikat enam buah kaleng tersebut.



Penyelesaian:
Diketahui bahwa jari-jari kaleng adalah 10 cm. Hubungkan titik pusat enam lingkaran kaleng dan titik pusat dengan tali yang melingkarinya, seperti pada gambar di atas, sehingga diperoleh:
panjang EF = IJ = 4 x jari-jari = 40 cm, dan
panjang KL = GH = 2 x jari-jari = 20 cm
Ingat kembali materi pada bab sebelumnya mengenai lingkaran, bahwa keliling lingkaran adalah 2πr, dalam hal ini panjang busur lingkaran AD merupakan ¼ lingkaran. Maka:
panjang LE = FG = HI = JK
panjang LE = ¼ keliling lingkaran
panjang LE = ½πr
          Jadi, panjang tali minimal untuk mengikat enam buah drum dengan susunan tersebut adalah:
panjang tali  = 2 x EF + 2 x KL + 4 x panjang busur LE
panjang tali  = 2 x EF + 2 x KL + 4 x ½πr
panjang tali  = 2 x 40 cm + 2 x 20 cm + 2 x 3,14 x 10 cm
panjang tali  = 80 cm + 40 cm + 62,8 cm
panjang tali  = 182,8 cm

Jadi, panjang tali minimal yang diperlukan untuk mengikat enam buah kaleng tersebut adalah 182,8 cm

Pembahasan Soal 4
Lima buah pipa air disusun seperti pada gambar di bawah. Hitunglah panjang tali yang digunakan untuk melilitkan pipa-pipa tersebut jika jari-jari pipa 3 cm.




Penyelesaian:
Diketahui bahwa jari-jari pipa adalah 3 cm. Hubungkan titik pusat lima lingkaran pipa dan titik pusat dengan tali yang melingkarinya, seperti pada gambar di atas, sehingga diperoleh:
panjang FG = HI = JK = LM = NP = 2 x jari-jari = 6 cm.
Ingat kembali materi pada bab sebelumnya mengenai lingkaran, bahwa keliling lingkaran adalah 2πr, dalam hal ini panjang busur lingkaran AD merupakan ¼ lingkaran. Maka:
panjang GH = FP
panjang GH = ¼ keliling lingkaran
panjang GH = ½πr
panjang GH = ½ x 3,14 x 3 cm
panjang GH = 4,71 cm

Segitiga CDE sama sisi, sehingga
 CED =  EDC =  DCE = 60°;
KDE = LDC = 90° (siku-siku);
KDL = 360° – (60° + 90° + 90°) =120°
MCN = IEJ = 360° – (60° + 90° + 90° + 90°) = 30°
Ingat kembali materi pada bab sebelumnya mengenai hubungan sudut pusat dengan panjang busur lingkaran, maka:
panjang busur KL/ keliling lingkaran = (KDL/360°)
panjang busur KL / 2πr = (KDL/360°)
panjang busur KL = (120°/360°) x 2πr
panjang busur KL = (1/3) x 2πr
panjang busur KL = (1/3) x 2 x 3,14 x 3 cm
panjang busur KL = 6,28 cm

sedangkan panjang busur IJ adalah:
panjang busur IJ/ keliling lingkaran = (IEJ/360°)
panjang busur IJ / 2πr = (IEJ /360°)
panjang busur IJ = (30°/360°) x 2πr
panjang busur IJ = (1/12) x 2πr
panjang busur IJ = (1/12) x 2 x 3,14 x 3 cm
panjang busur IJ = 1,57 cm

          Jadi, panjang tali minimal untuk mengikat enam buah drum dengan susunan tersebut adalah:
panjang tali  = 5 x FG + 2 x GH + KL + 2x IJ
panjang tali  = 5 x 6 cm + 2 x 4,71 + 6,28 cm + 2 x 1,57cm
panjang tali  = 12 cm + 9,42 cm + 6,28 cm + 3,14 cm
panjang tali  = 30,84 cm

Jadi, panjang tali yang digunakan untuk melilitkan pipa-pipa tersebut adalah 30,84 cm